第三章：函数的概念与性质

人教版（2019 新课标）高中数学必修第一册
函数是高中数学的灵魂概念，后续的数列、导数、积分全部建立在函数之上。本章的重点不是背公式，而是建立"对应关系"这一核心思维。

3.1 函数的概念

函数的定义

设 $A, B$ 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 $f$，使对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $f(x)$ 和它对应，则称 $f: A \to B$ 为从 $A$ 到 $B$ 的一个函数。

记作：$y = f(x), x \in A$

理解关键词

非空数集：$A$ 和 $B$ 都是数集（不是点集、不是图形）
任意一个：定义域中的每一个 $x$ 都要有对应的 $f(x)$
唯一确定：一个 $x$ 只能对应一个 $y$（⚠️ 一个 $y$ 可以对应多个 $x$）

一句话：对于每个 $x$，有且只有一个 $y$。

函数的三要素

要素	含义	说明
定义域	自变量 $x$ 的取值范围	使表达式有意义的 $x$ 的集合
值域	函数值 $f(x)$ 的集合	${f(x) \mid x \in \text{定义域}}$
对应关系 $f$	$x$ 到 $y$ 的映射规则	相同的 $f$ 代表相同的"运算"

判定两个函数相等：定义域相同 + 对应关系相同（值域自然相同）。

例：$f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ 和 $g(x) = x+1$ 是同一个函数吗？

答：不是！$f(x)$ 的定义域是 ${x \mid x \neq 1}$，而 $g(x)$ 定义域是 $\mathbb{R}$。定义域不同，即使化简后表达式一样，也不是同一个函数。

函数的表示方法

解析法：用数学式子表示，如 $f(x) = x^2 + 2x$
列表法：用表格列出 $x$ 和 $f(x)$ 的对应值
图像法：在坐标系中画出点 $(x, f(x))$ 的轨迹

分段函数

定义域内不同区间用不同表达式描述的函数叫分段函数。它是一个函数，不是多个函数！

例：绝对值函数 $f(x) = |x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \ -x, & x < 0 \end{cases}$

分段函数的值域是各段值域的并集，做题时每段分别讨论再合并。

3.2 函数的定义域——六种常见限制

求定义域就是找让表达式有意义的所有 $x$。记住这六种情况：

表达式形式	限制条件	示例
分母	分母 $\neq 0$	$\frac{1}{x-1} \implies x \neq 1$
偶次根号	被开方数 $\geq 0$	$\sqrt{x-2} \implies x \geq 2$
零次幂	底数 $\neq 0$	$(x-1)^0 \implies x \neq 1$
对数	真数 $> 0$	$\log_2(x-3) \implies x > 3$
正切	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$	$\tan x$
实际问题	考虑实际含义	人数不能为负

复合函数定义域：$f(g(x))$ 的定义域是使 $g(x)$ 的值落入 $f$ 的定义域内的 $x$ 的集合。

3.3 函数的单调性

定义

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$，区间 $D \subseteq I$：
- 若 $\forall x_1, x_2 \in D$，当 $x_1 < x_2$ 时都有 $f(x_1) < f(x_2)$，则 $f(x)$ 在 $D$ 上单调递增
- 若 $\forall x_1, x_2 \in D$，当 $x_1 < x_2$ 时都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则 $f(x)$ 在 $D$ 上单调递减

判断单调性的方法

定义法（证明题标准做法）：
1. 设 $x_1 < x_2$
2. 作差 $f(x_1) - f(x_2)$
3. 变形判断符号
4. 得出结论

图像法：看图，从左到右图像上升就是增，下降就是减。

常见函数的单调性：

函数	增区间	减区间
$y = x^2$	$(0, +\infty)$	$(-\infty, 0)$
$y = \frac{1}{x}$	无（但分别在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上分别递减）	—
$y = x^3$	$\mathbb{R}$	无
$y =	x	$ \| $(0, +\infty)$ \| $(-\infty, 0)$

⚠️ 单调区间不能随便并

$y = \frac{1}{x}$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上分别单调递减，但不能说它在整个定义域上单调递减！取 $x_1 = -1, x_2 = 1$，$f(-1) = -1 < f(1) = 1$，反而"增"了。

单调区间之间不能随意用 $\cup$ 连接，要分别写。

3.4 函数的奇偶性

定义

函数 $f(x)$ 的定义域 $I$ 关于原点对称：
- 若 $\forall x \in I$，$f(-x) = f(x)$，则为偶函数，图像关于 $y$ 轴对称
- 若 $\forall x \in I$，$f(-x) = -f(x)$，则为奇函数，图像关于原点对称

⚠️ 前提：定义域必须关于原点对称

判断奇偶性的第一步永远是检查定义域是否关于原点对称！

定义域是 $(-2, 3]$——不对称，不可能有奇偶性，直接判"非奇非偶"
定义域是 $[-1, 1]$——对称，可以继续判断

判断步骤

求定义域，看是否关于原点对称 → 否：非奇非偶，结束
计算 $f(-x)$，化简后与 $f(x)$ 比较
若 $f(-x) = f(x)$ → 偶函数
若 $f(-x) = -f(x)$ → 奇函数
都不是 → 非奇非偶

常见函数的奇偶性

奇函数	偶函数	非奇非偶
$y = x$	$y = x^2$	$y = x+1$
$y = x^3$	$y =	x\|$ \| $y = \sqrt{x}$
$y = \frac{1}{x}$	$y = \cos x$	$y = 2^x$
$y = \sin x$	$y = c$（常数函数）
$y = \tan x$

奇偶性的运算性质

奇 ± 奇 = 奇；偶 ± 偶 = 偶
奇 × 奇 = 偶；奇 × 偶 = 奇；偶 × 偶 = 偶
复合函数：$f(g(x))$ 的奇偶性遵循"同奇异偶"（内外皆奇→奇；内外皆偶→偶；一奇一偶→偶）

3.5 函数的最值

最大值与最小值的定义

设 $f(x)$ 定义域为 $I$：
- 若 $\exists x_0 \in I$，使得 $\forall x \in I$ 都有 $f(x) \leq f(x_0)$，则 $f(x_0)$ 为最大值
- 若 $\exists x_0 \in I$，使得 $\forall x \in I$ 都有 $f(x) \geq f(x_0)$，则 $f(x_0)$ 为最小值

求最值的方法

利用单调性：在闭区间上的单调函数，两端点就是最值
二次函数配方：$ax^2+bx+c = a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}$，顶点即最值
基本不等式：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$
图像法：画出图像直观判断

二次函数在闭区间上的最值（经典题型）

求 $f(x) = x^2 - 4x + 3$ 在 $[0, 3]$ 上的最大值和最小值。

解：配方得 $f(x) = (x-2)^2 - 1$，对称轴 $x = 2$。

在 $[0, 2]$ 上递减：$f(0)=3$，$f(2)=-1$
在 $[2, 3]$ 上递增：$f(2)=-1$，$f(3)=0$

最小值 $f(2) = -1$，最大值 $\max(f(0), f(3)) = 3$。

3.6 幂函数

定义

形如 $y = x^\alpha$（$\alpha$ 为常数）的函数叫做幂函数。

五种基础幂函数——必须把图像刻在脑子里

函数	定义域	值域	奇偶性	单调性	定点
$y = x$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	奇	增	$(0,0)$, $(1,1)$
$y = x^2$	$\mathbb{R}$	$[0,+\infty)$	偶	$(-\infty,0)$减，$(0,+\infty)$增	$(0,0)$, $(1,1)$
$y = x^3$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	奇	增	$(0,0)$, $(1,1)$
$y = x^{\frac{1}{2}}$	$[0,+\infty)$	$[0,+\infty)$	非奇非偶	增	$(0,0)$, $(1,1)$
$y = x^{-1}$	${x \mid x \neq 0}$	${y \mid y \neq 0}$	奇	$(-\infty,0)$减，$(0,+\infty)$减	$(1,1)$

一般规律

所有幂函数在第一象限的图像特征：
- 都过点 $(1,1)$
- $\alpha > 0$：在 $(0,+\infty)$ 上递增（$\alpha$ 越大增长越快）
- $\alpha < 0$：在 $(0,+\infty)$ 上递减
- $\alpha > 1$：下凸；$0 < \alpha < 1$：上凸

📝 经典例题

例 1：复合函数定义域

已知 $f(x)$ 的定义域为 $[0, 2]$，求 $f(x+1) + f(2x-1)$ 的定义域。

解：需要同时满足 $\begin{cases} 0 \leq x+1 \leq 2 \ 0 \leq 2x-1 \leq 2 \end{cases}$

第一个不等式：$-1 \leq x \leq 1$
第二个不等式：$\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}$

取交集得定义域：$\left[\frac{1}{2}, 1\right]$

例 2：定义法证单调性

用定义证明 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。

证：设 $0 < x_1 < x_2$，则 $f(x_1) - f(x_2) = \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}$

因为 $x_2 > x_1 > 0$，所以 $x_2 - x_1 > 0$，$x_1 x_2 > 0$，故 $f(x_1) - f(x_2) > 0$，即 $f(x_1) > f(x_2)$。所以 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。✅

例 3：奇偶性判断

判断 $f(x) = x|x|$ 的奇偶性。

解：定义域为 $\mathbb{R}$，关于原点对称。

$f(-x) = -x \cdot |-x| = -x \cdot |x| = -f(x)$，所以是奇函数。

🔑 本章小结

知识点	核心	易错
函数概念	每个 $x$ 对应唯一 $y$	$f(x)$ 和 $g(x)$ 定义域不同就不是同一函数
定义域	分母 $\neq 0$，根号内 $\geq 0$，零次幂底 $\neq 0$	复合函数定义域要套两层
单调性	$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$（增）	单调区间不能用 $\cup$
奇偶性	$f(-x)=f(x)$ 偶；$f(-x)=-f(x)$ 奇	先看定义域是否对称！
幂函数	五种基本图像、恒过 $(1,1)$	不同 $\alpha$ 的图像差异