前言
如你所见，这是一篇连初中蒟蒻都能食用的预习文章，高中的dalao也可以用来复习。
高中花两三个礼拜才学完，现在只需一两个小时，还不来学
话不多说，直接凯驰。
集合的概念
知识点：
集合，小学三年级都学过，就是把一些同类的东西——如数字、学科、爱好之类的——放在一起，简称集。然后里面的东西叫做元素。
举个例子，由偶数组成的集合叫做偶数集，里面的元素有$0，2，4，6，8......$
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就说这两个集合相等。
比如设$A$是偶数集，$B$是2的的倍数集，那么集合$A$和$B$相等，记做$A=B$。
这里有几个常用的集合可以背一下：
| 非负整数集 | 正整数集 | 整数集 | 有理数集 | 实数集 |
|---|---|---|---|---|
| $N$ | $N^*$或$N_+$ | $Z$ | $Q$ | $R$ |
如果$a$是集合$A$的元素，我们就说a属于A，记做$a \in A$ ; 否则就说a不属于A，记做$a \notin A$。
比如说设$A$为偶数集，则$2 \in A$，$1 \notin A$。
把一个集合的所有元素列举出来表示集合的方法叫做列举法；用集合内所有元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法。
什么意思呢？
举个例子，设集合$A$表示$10$以内的奇数，那么用列举法就是$A=$｛$1,3,5,7,9$｝,用描述法就是$A=$｛$2x+1|x \in Z,$且$0 \le x \le 4$｝。
例题：
用不同方法表示$20$的约数集，并判断$1,3,7,10$是否属于该集合。
解：
列举法：$A=$｛$1,2,4,5,10,20$｝;
描述法：$A=$｛$x|x \in N+,$且$xy=20,y \in N+$｝;
$1 \in A,3 \notin A,7 \notin A,10 \in A$.
集合的基本关系
知识点：
小学学过集合的都看过这个图吧，它叫做Venn图，用来表示集合间的关系的。
如果两个集合间的关系像上面那个图，也就是集合$A$的每一个元素都是集合$B$的元素，我们就说$A$包含于$B$，记做$A \subseteq B$，其中集合$A$是集合$B$的子集。
特别的，如果$A \subseteq B$，且$A \ne B$，那么我们说$A$真包含于$B$，记做$A \subsetneqq B$，其中集合$A$是集合$B$的真子集。
举个例子，设$A$是等腰三角形集合，$B$是等边三角形集合，$C$是正三角形集合，则$A \subsetneqq B$，$A \subsetneqq C$，$B \subseteq C$，$C \subseteq B$。
小知识：一个集合的子集一定有它本身。
子集的迭代性：若$A \subseteq B$，且$B \subseteq C$，则$A \subseteq C$。
什么元素都没有的集合叫做空集，记做$\empty$。
性质：空集是任意集合的子集。
例题：
判断以下哪些集合是$A=$｛$4x|x \in Z$｝的子集。
$B=$｛$2x|x \in Z$｝，$C=$｛$16x|x \in Z$｝,$D=$｛$4,8,12,16,20$｝，$E=$｛$8^x|x \in N^*$｝，$\empty$.
解：
$C \subseteq A$，$E \subseteq A$，$\empty \subseteq A$.
集合的基本运算
知识点：
对，你没听错，集合之间还有运算。
设有两个集合$A,B$，我们把组成这两个集合的所有元素组成的集合叫做集合$A$与$B$的并集，记做$A \cup B$，读作$A$并$B$，即$A \cup B=$｛$x|x \in A，或x \in B$｝。
看上面那个Venn图，两个圆表示集合$A$和$B$，蓝色部分就是$A$并$B$。
设有两个集合$A,B$，我们把同是两个集合中的元素组成的集合叫做集合$A$与$B$的交集，记做$A \cap B$，读作$A$交$B$，即$A \cap B=$｛$x|x \in A，且x \in B$｝。
看上面那个Venn图，两个圆表示集合$A$和$B$，粉色部分就是$A$交$B$。
小知识：$A \cup A=A \cup \empty=A \cap A=A$，$A \cap \empty=\empty$。
一个问题中所有元素组成的集合叫做全集，通常用字母$U$表示。
在全集$U$中，对于集合$A$，属于全集$U$但不属于集合$A$的元素组成的集合叫做在全集$U$中对于集合$A$的补集，记做$\complement_UA$，即$\complement_UA=$｛$x|x \in U,且x \notin A$｝。
看上面那个Venn图，圆表示集合$A$，斜线部分就是$\complement_UA$，整个矩形表示全集$U$。
例题：
设全集$U=Z$，集合$A=$｛$2x|x \in N$｝，$B=$｛$x|0 \le x \le 10,且x \in N$｝，求$A \cap B$与$\complement_UB$。
解：
$A \cap B=$｛$2x|0 \le x \le 5,且x \in N$｝；
$\complement_UB=$｛$x|x>5或x<0,且x \in Z$｝。
充分条件与必要条件
知识点：
如果由条件$p$能得到结论$q$，我们就称$p$推出$q$，记做$p \Rightarrow q$，其中$p$是$q$的充分条件，$q$是$p$的必要条件。
比如说，“等边三角形的每个角都是$60^\circ$”中，“等边三角形”是充分条件，“每个角都是$60^\circ$”是必要条件。
如果$p \Rightarrow q$，且$q \Rightarrow p$，我们就称$p$和$q$可以互相推出，记做$p \Leftrightarrow q$，其中$p$和$q$互为充分必要条件，简称充要条件。
举个例子，勾股定理与勾股定理的逆定理中，“直角三角形”与“直角边的平方和等于斜边的平方”互为充要条件。
例题：
指出下列命题的充分条件与必要条件。
（1）两直线平行，内错角相等；
（2）两点确定一条直线；
（3）若一个四边形的一组对边平行且相等，则该四边形为平行四边形。
解：
（1）充分条件：两直线平行；必要条件：内错角相等；
（2）充分条件：在同一平面内有两点；必要条件：有且只有一条直线过这两点；
（3）充分条件：一个四边形的一组对边平行且相等；必要条件：该四边形为平行四边形。
全称量词与存在量词
知识点：
在命题中，“所有的”“任意一个”之类的词语称为全称量词，用符号$\forall$表示，该命题称为全称量词命题。
比如说，“所有的$4$的倍数都是偶数”是全称量词命题。
在命题中，“存在一个”“至少有一个”之类的词语称为存在量词，用符号$\exists $表示，该命题称为存在量词命题。
比如说，“素数中至少有一个偶数”是存在量词命题。
命题中，通常用符号$\neg$表示否定。
全称量词命题$\forall x \in M,p(x)$的否定：$\exists x \in M,\neg p(x)$；
存在量词命题$\exists x \in M,p(x)$的否定：$\forall x \in M,\neg p(x)$。
例题：
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出该命题的否定。
（1）$\forall x \in R,x \in Q$；
（2）$\exists x \in$｛$x|x17$。
解：
（1）全称量词命题，否定：$\exists x \in R,x \notin Q$；
（2）存在量词命题，否定：$\forall x \in$｛$x|x<0,且x \in Z$｝$,x \le 17$。
后记
好了，这些知识点就用例题与知识点结合的方式水讲完了，没学会的多看例题理解亿下。
接下来是作业，记得写，下节课开头有答案。
作业：
1.
写出以下集合。
（1）偶数集；
（2）不等式$\frac{x+1}{5}+\frac{x-2}{2}0$。
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