第二章：一元二次函数、方程和不等式

人教版（2019 新课标）高中数学必修第一册
本章是初中"一元二次方程"的升级版——引入了不等式、参数讨论和基本不等式求最值，是整个高中代数计算的基石。

2.1 等式与不等式的性质

等式的基本性质

等式的性质初中就学过，这里系统梳理一遍：

对称性：若 $a = b$，则 $b = a$
传递性：若 $a = b$ 且 $b = c$，则 $a = c$
可加性：若 $a = b$，则 $a + c = b + c$
可乘性：若 $a = b$，则 $ac = bc$

不等式的基本性质

不等式的性质和等式类似，但有一个关键区别——乘负数要变号！

对称性：若 $a > b$，则 $b < a$
传递性：若 $a > b$ 且 $b > c$，则 $a > c$
可加性：若 $a > b$，则 $a + c > b + c$（加减不改变不等号方向）
可乘性：
- 若 $a > b$ 且 $c > 0$，则 $ac > bc$（乘正数方向不变）
- 若 $a > b$ 且 $c < 0$，则 $ac < bc$（⚠️ 乘负数方向反转！）
同向可加：若 $a > b$ 且 $c > d$，则 $a + c > b + d$
同向正数可乘：若 $a > b > 0$ 且 $c > d > 0$，则 $ac > bd$
乘方与开方：若 $a > b > 0$，则 $a^n > b^n$（$n \in \mathbb{N}^*$），$\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$

⚠️ 最常见的错误

很多同学在解不等式 $-2x > 6$ 时直接写 $x > -3$——错了！除以 $-2$ 后不等号方向要反转，正确答案是 $x < -3$。

检查方法：代入检验。$x=0$ 时 $-2 \times 0 = 0$，确实不大于 6，所以 $x$ 应该取小于 $-3$ 的值。

2.2 基本不等式

两个重要不等式

对于任意实数 $a, b$：
$$a^2 + b^2 \geq 2ab$$

当且仅当 $a = b$ 时取等号。

当 $a > 0, b > 0$ 时，用 $\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$ 替换：
$$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$$

含义：算术平均数 $\geq$ 几何平均数，当且仅当 $a = b$ 时取等。

基本不等式求最值——"一正二定三相等"

这是本章最重要的应用技巧，三个条件缺一不可：

条件	含义	说明
一正	参与运算的量必须为正	$a>0, b>0$，否则不能用 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$
二定	和或积为定值	和为定值时积有最大值；积为定值时和有最小值
三相等	必须检验取等条件	$a=b$ 能否在那个情境下成立？不成立则最值取不到

典型应用

积定和最小：

已知 $x > 0$，求 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值。

由基本不等式：$x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$

当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ 即 $x = 1$ 时取等号。最小值为 2。

和定积最大：

已知 $x > 0, y > 0$ 且 $x + y = 10$，求 $xy$ 的最大值。

$xy \leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 = 25$，当且仅当 $x = y = 5$ 时取等。最大值为 25。

常见变形

$a + \frac{1}{a} \geq 2$（$a > 0$）
$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$（$a, b$ 同号）
$a^2 + b^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2}$

2.3 二次函数与一元二次方程

二次函数的图像

二次函数 $y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的图像是一条抛物线。

$a$ 的符号	开口方向	顶点	对称轴
$a > 0$	开口向上	$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$	$x = -\frac{b}{2a}$
$a < 0$	开口向下	$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$	$x = -\frac{b}{2a}$

关键：对称轴的位置 + 开口方向，决定了函数在给定区间上的单调性和最值。

判别式 $\Delta$

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

判别式决定了二次函数与 $x$ 轴的交点个数：

$\Delta$	与 $x$ 轴交点	方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根
$\Delta > 0$	2 个交点	两个不等实根 $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta = 0$	1 个交点（相切）	两个相等实根 $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$
$\Delta < 0$	无交点	无实根（有两个共轭虚根）

韦达定理（根与系数的关系）

若 $x_1, x_2$ 是 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两根，则：

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$

重要性：韦达定理让你不需要解出根就能知道根的和与积，在"已知根的关系求参数"类题目中非常高效。

例：若方程 $x^2 - 5x + k = 0$ 的两根之差为 3，求 $k$。

由韦达定理：$x_1 + x_2 = 5$，$x_1x_2 = k$。又 $(x_1 - x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = 25 - 4k = 9$，得 $k = 4$。

2.4 一元二次不等式的解法

核心方法：看开口 + 看根

解不等式 $ax^2 + bx + c > 0$（或 $< 0, \geq 0, \leq 0$）的标准流程：

化为标准形式：确保二次项系数在一边，右边为 0
求根：解对应方程 $ax^2 + bx + c = 0$，画出抛物线草图
看开口看根：根据 $a$ 的正负和不等号方向确定解集

各种情况汇总

以 $a > 0$（开口向上）为例：

判别式	图像	$ax^2+bx+c>0$ 的解集	$ax^2+bx+c<0$ 的解集
$\Delta > 0$	与 $x$ 轴有两交点 $x_1	${x \mid x < x_1 \text{ 或 } x > x_2}$	${x \mid x_1 < x < x_2}$
$\Delta = 0$	与 $x$ 轴相切于 $x_0$	${x \mid x \neq x_0}$	$\varnothing$
$\Delta < 0$	全部在 $x$ 轴上方	$\mathbb{R}$	$\varnothing$

形象记忆（$a > 0$）：抛物线开口向上，落在 $x$ 轴上方（$>0$）的是"两头"，落在下方（$<0$）的是"中间"。

若 $a < 0$，两边同乘 $-1$ 化为 $a > 0$ 再解（⚠️ 不等号要反转）。

分式不等式的处理

遇到 $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$ 这类分式不等式，转化为乘积不等式：
$$\frac{f(x)}{g(x)} > 0 \iff f(x) \cdot g(x) > 0$$

注意：不能用"两边同乘分母"因为分母的正负不确定。正确做法是移项通分。

2.5 含参数的一元二次不等式（难点）

分类讨论的基本框架

当不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 中含有参数时，需要分类讨论：

先看 $a$：$a = 0$？$a > 0$？$a < 0$？——决定是一次还是二次，开口方向
再看 $\Delta$：决定有没有实根
最后比较根的大小：如果两根都是含参表达式，需要比较它们的大小

典型例题

解关于 $x$ 的不等式：$ax^2 - (a+1)x + 1 < 0$

解：

① 当 $a = 0$：原不等式变为 $-x + 1 < 0$，即 $x > 1$。

② 当 $a \neq 0$：对应方程 $ax^2 - (a+1)x + 1 = 0$。

因式分解：$(ax-1)(x-1) = 0$，得 $x_1 = \frac{1}{a}$，$x_2 = 1$。

两个根需比较大小：
- 若 $a > 1$，则 $\frac{1}{a} < 1$，解集为 $\frac{1}{a} < x < 1$
- 若 $a = 1$，则 $\frac{1}{a} = 1$，$\Delta = 0$，不等式变为 $(x-1)^2 < 0$，解集为 $\varnothing$
- 若 $0 < a < 1$，则 $\frac{1}{a} > 1$，解集为 $1 < x < \frac{1}{a}$
- 若 $a < 0$，则 $\frac{1}{a} < 0 < 1$，开口向下，解集为 $x < \frac{1}{a}$ 或 $x > 1$

讨论技巧

因式分解优先：先试着分解，往往能直接看出根，省去求根公式
画数轴：把各种情况画出来，不容易漏
最后综合：把所有情况整理成最终答案

📝 经典例题

例 1：基本不等式求最值

已知 $x > 0, y > 0$ 且 $\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1$，求 $x + y$ 的最小值。

解：$x + y = (x + y) \cdot 1 = (x + y)\left(\frac{1}{x} + \frac{9}{y}\right)$

展开得：$1 + \frac{9x}{y} + \frac{y}{x} + 9 = 10 + \frac{9x}{y} + \frac{y}{x}$

由基本不等式：$\frac{9x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\sqrt{9} = 6$

所以 $x + y \geq 10 + 6 = 16$，当且仅当 $\frac{9x}{y} = \frac{y}{x}$ 即 $y = 3x$ 时取等。

代入条件：$\frac{1}{x} + \frac{3}{3x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x} = 1 \implies x = 2, y = 6$。最小值为 16。

例 2：二次不等式含参

已知不等式 $x^2 - mx + 1 > 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围。

解：二次项系数 $a = 1 > 0$，开口向上。要恒为正，需要抛物线与 $x$ 轴无交点（$\Delta < 0$）或相切（$\Delta \leq 0$ 且等号验证）。

$\Delta = m^2 - 4 < 0 \implies -2 < m < 2$

当 $m = \pm 2$ 时 $\Delta = 0$，但此时 $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \geq 0$ 且等号可以取到，不满足"严格大于 0"。所以 $m$ 的范围是 $(-2, 2)$。

🔑 本章小结

知识点	核心内容	易错提醒
不等式性质	加减不反转，乘负要反转	✖️ 两边同乘代数式必须讨论正负
基本不等式	$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$	验证"一正二定三相等"，缺一不可
二次函数图像	开口 + 对称轴 + 判别式	别忘了看 $a$ 的符号
韦达定理	$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$	特别注意负号！
解二次不等式	开口 + 根 → 两头或中间	先化标准形再画图
含参讨论	$a \to \Delta \to$ 根大小	分情况逐一讨论，不要跳步