第一章：集合与常用逻辑用语

人教版（2019 新课标）高中数学必修第一册
集合是整个高中数学的"地基语言"，后续的函数、数列、概率都建立在集合的基础上。

1.1 集合的概念

元素与集合

把研究的对象称为元素（element），一些元素组成的整体叫做集合（set），简称集。

通常用大写拉丁字母 $A,B,C,\cdots$ 表示集合，小写拉丁字母 $a,b,c,\cdots$ 表示元素。

如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素，就说 $a$ 属于 $A$，记作 $a \in A$；如果 $a$ 不是集合 $A$ 的元素，就说 $a$ 不属于 $A$，记作 $a \notin A$。

集合中元素的三个特性

确定性：对于一个给定的集合，任何一个元素是否属于它是确定的，不能模棱两可。
- ✅ "我们班身高 170cm 以上的同学"——能确定
- ❌ "我们班个子高的同学"——多高算高？不明确
互异性：集合中的元素不能重复。${1,2,2,3}$ 实际上就是 ${1,2,3}$。
无序性：集合中的元素没有先后顺序。${1,2,3}$ 和 ${3,1,2}$ 是同一个集合。

集合的表示方法

列举法

把集合中的所有元素一一列举出来，用花括号括起来。

例：「小于 10 的所有质数」构成的集合：${2,3,5,7}$

列举法适合元素较少且能一一列举的集合。注意元素之间用逗号隔开，且每个元素只出现一次。

描述法

用集合中元素的共同特征来描述集合。

形式：${x \mid P(x)}$ 或 ${x : P(x)}$，读作"使命题 $P(x)$ 为真的 $x$ 的集合"。

例：「不等式 $x-7<3$ 的解集」：${x \mid x-7<3}$

Venn 图（韦恩图）

用一个封闭曲线（通常是圆或椭圆）的内部表示一个集合，直观展示集合之间的关系。

常用数集及其记法

数集	符号	含义
非负整数集（自然数集）	$\mathbb{N}$	${0,1,2,3,\cdots}$
正整数集	$\mathbb{N}^*$ 或 $\mathbb{N}_+$	${1,2,3,\cdots}$
整数集	$\mathbb{Z}$	${\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots}$
有理数集	$\mathbb{Q}$	能表示为 $\frac{p}{q}(p,q\in\mathbb{Z}, q\neq 0)$ 的数
实数集	$\mathbb{R}$	有理数和无理数的全体

注意：自然数集从 0 开始是国际惯例（即"非负整数"），和小学说的"自然数从 1 开始"不一样，考试以 $\mathbb{N}={0,1,2,\cdots}$ 为准。

1.2 集合间的基本关系

子集

如果集合 $A$ 中的任意一个元素都是集合 $B$ 中的元素，则称 $A$ 是 $B$ 的子集，记作：

$$A \subseteq B \quad \text{（或 } B \supseteq A \text{）}$$

读作"$A$ 包含于 $B$"（或"$B$ 包含 $A$"）。

例：设 $A={1,2}$，$B={1,2,3}$，则 $A \subseteq B$。

关键理解：子集关系是"整体与部分"的关系，不要和"元素属于集合"搞混。
- 元素 $\in$ 集合 ✅
- 集合 $\subseteq$ 集合 ✅
- 元素 $\subseteq$ 集合 ❌

真子集

如果 $A \subseteq B$，且存在 $x \in B$ 但 $x \notin A$，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记作：

$$A \subsetneqq B \quad \text{（或 } B \supsetneqq A \text{）}$$

简单记忆：真子集 = 子集 + 至少少一个元素。

例： $A={1,2}$，$B={1,2,3}$，则 $A \subsetneqq B$。但 $A={1,2,3}$，$B={1,2,3}$ 时 $A \subseteq B$ 成立而 $A \subsetneqq B$ 不成立。

集合相等

如果 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，则 $A = B$。

换句话说：两个集合的元素完全相同，它们就相等。这就是判定集合相等的标准方法——互证包含。

空集

不含任何元素的集合叫做空集，记作 $\varnothing$。

关键性质：
- 空集是任何集合的子集：$\varnothing \subseteq A$
- 空集是任何非空集合的真子集：若 $A \neq \varnothing$，则 $\varnothing \subsetneqq A$

⚠️ 常见易错点

写法	含义	对/错
$0 \in {0}$	0 是集合 {0} 的元素	✅
$\varnothing = {0}$	空集等于含 0 的集合	❌ 空集没有元素
$\varnothing \subseteq {0}$	空集是 {0} 的子集	✅
$\varnothing \in {0}$	空集是 {0} 的元素	❌ {0} 里只有 0

记住：$\varnothing$ 和 ${0}$ 完全不是一回事！${0}$ 里有一个元素 0，而 $\varnothing$ 里什么也没有。

子集个数公式

含有 $n$ 个元素的集合，其：
- 子集个数 = $2^n$
- 真子集个数 = $2^n - 1$
- 非空子集个数 = $2^n - 1$
- 非空真子集个数 = $2^n - 2$

推导思路：每个元素都有"选"和"不选"两种可能，$n$ 个元素独立选择，共 $2^n$ 种组合。

1.3 集合的基本运算

并集

由所有属于 $A$ 或属于 $B$ 的元素组成的集合，称为 $A$ 与 $B$ 的并集：

$$A \cup B = {x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B}$$

关键：这里的"或"是逻辑或——满足至少一个条件即可，两个都满足也可以。不是日常用语中"二选一"的意思。

例： $A={1,2,3}$，$B={3,4,5}$，则 $A \cup B = {1,2,3,4,5}$（注意 3 重复只取一次）。

性质：
- $A \cup A = A$
- $A \cup \varnothing = A$
- $A \cup B = B \cup A$（交换律）

交集

由所有属于 $A$ 且属于 $B$ 的元素组成的集合，称为 $A$ 与 $B$ 的交集：

$$A \cap B = {x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B}$$

例： $A={1,2,3}$，$B={3,4,5}$，则 $A \cap B = {3}$。

性质：
- $A \cap A = A$
- $A \cap \varnothing = \varnothing$
- $A \cap B = B \cap A$（交换律）

补集

对于一个给定的全集 $U$，由 $U$ 中所有不属于 $A$ 的元素组成的集合，称为集合 $A$ 相对于全集 $U$ 的补集：

$$\complement_U A = {x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A}$$

关键理解：补集依赖于全集的选择。同一个集合 $A$，在不同的全集下补集不同。

例： $U={1,2,3,4,5}$，$A={1,2}$，则 $\complement_U A = {3,4,5}$。

性质：
- $A \cup (\complement_U A) = U$
- $A \cap (\complement_U A) = \varnothing$
- $\complement_U(\complement_U A) = A$

⭐ 德摩根定律（必考）

$$\complement_U(A \cup B) = (\complement_U A) \cap (\complement_U B)$$

$$\complement_U(A \cap B) = (\complement_U A) \cup (\complement_U B)$$

口诀：补集穿进去，交并反过来。

集合运算的图示法

并集、交集、补集的关系用 Venn 图表示最直观。做题时画一个 Venn 图往往比纯代数推导快得多，尤其是涉及三个集合的复杂关系时。

1.4 常用逻辑用语

命题

可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的叫真命题，判断为假的叫假命题。

注意：疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。"$x>5$"本身也不是命题（不知道 $x$ 是多少），但加上量词后就成了命题。

充分条件与必要条件

若 $p \Rightarrow q$，则：
- $p$ 是 $q$ 的充分条件（有 $p$ 就够推出 $q$）
- $q$ 是 $p$ 的必要条件（没有 $q$ 就不可能有 $p$）

直观理解：

充分：$p$ 的存在"足够"保证 $q$ 成立
必要：$q$ 是 $p$ 成立的"必备前提"

例： $p$：四边形是正方形；$q$：四边形是矩形。

因为正方形一定是矩形，所以 $p \Rightarrow q$。则 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件。

充要条件

若 $p \Rightarrow q$ 且 $q \Rightarrow p$（即 $p \Leftrightarrow q$），则称 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件，简称充要条件。

等价说法：$p$ 与 $q$ 等价，$p$ 当且仅当 $q$。

例： $p$：一个整数各位数字之和能被 3 整除；$q$：这个整数能被 3 整除。可以证明 $p \Leftrightarrow q$，所以 $p$ 是 $q$ 的充要条件。

全称量词与存在量词

量词	符号	含义	示例
全称量词	$\forall$	"所有的""任意一个"	$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$
存在量词	$\exists$	"存在""至少有一个"	$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 2$

含量词命题的否定（高频考点）

原命题	否定
$\forall x \in M, P(x)$	$\exists x \in M, \neg P(x)$
$\exists x \in M, P(x)$	$\forall x \in M, \neg P(x)$

口诀：全称变存在，存在变全称，结论取否定。

例：「所有矩形都是平行四边形」的否定是「存在一个矩形不是平行四边形」。

📝 经典例题

例 1：集合表示

用描述法表示「大于 3 且小于 10 的偶数的集合」。

解：${x \mid x = 2k, k \in \mathbb{Z}, 3 < x < 10}$，即 ${x \mid x = 2k, k \in \mathbb{Z}, 2 \leq k \leq 4}$，列举出来就是 ${4,6,8}$。

例 2：子集个数

集合 $A = {a, b, c, d}$ 中满足"含有元素 $a$"的子集有多少个？

解：$A$ 去掉 $a$ 后剩 ${b,c,d}$（3 个元素），有 $2^3 = 8$ 个子集。每个子集加上 $a$ 就得到 $A$ 中含有 $a$ 的一个子集。所以共 8 个。

例 3：交并补运算

$U = {1,2,3,4,5,6,7,8}$，$A = {1,2,3,4}$，$B = {3,4,5,6}$。
求：(1) $A \cup B$；(2) $A \cap B$；(3) $\complement_U(A \cup B)$。

解：
- (1) $A \cup B = {1,2,3,4,5,6}$
- (2) $A \cap B = {3,4}$
- (3) $\complement_U(A \cup B) = {7,8}$
- 验证德摩根定律：$\complement_U A = {5,6,7,8}$，$\complement_U B = {1,2,7,8}$，$(\complement_U A) \cap (\complement_U B) = {7,8}$，与 (3) 一致 ✅

例 4：充要条件判断

$p: x > 3$，$q: x > 1$。判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件。

解：$p \Rightarrow q$（大于 3 必然大于 1），但 $q \nRightarrow p$（大于 1 不一定大于 3，如 $x=2$）。所以 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

例 5：量词命题否定

写出命题「$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 2 > 0$」的否定，并判断真假。

解：否定为「$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 2 \leq 0$」。因为 $x^2+2x+2 = (x+1)^2+1 \geq 1 > 0$ 恒成立，所以否定是假命题，原命题为真。

🔑 本章小结

知识点	核心内容	易错提醒
集合概念	三要素、表示法、常用数集	$\mathbb{N}$ 从 0 开始
集合关系	子集、真子集、相等、空集	$\varnothing \neq {0}$
集合运算	并集 $\cup$、交集 $\cap$、补集、德摩根律	"或"是逻辑或
逻辑用语	充分/必要/充要条件、全称/存在量词	$p \Rightarrow q$ 方向别搞反
命题否定	量词互换 + 结论反	不要漏掉量词的变化