第十章：概率

人教版（2019 新课标）高中数学必修第二册
概率是用数学语言描述"不确定性"的学科。从掷硬币到天气预报，概率思维帮助我们理性地看待随机事件。

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10.1 随机事件

基本概念

概念	定义	示例
必然事件	一定发生	"太阳从东边升起"
不可能事件	一定不发生	"掷骰子得到 7 点"
随机事件	可能发生也可能不发生	"掷硬币得到正面"

事件的关系

关系	记号	含义
包含	$A \subseteq B$	$A$ 发生则 $B$ 一定发生
相等	$A = B$	$A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$
互斥（互不相容）	$A \cap B = \varnothing$	$A$ 和 $B$ 不能同时发生
对立	$A \cap B = \varnothing$ 且 $A \cup B = \Omega$	必有一个发生且不能同时发生

概率的基本性质

1. $0 \leq P(A) \leq 1$
2. $P(\Omega) = 1$（必然事件的概率为 1）
3. $P(\varnothing) = 0$（不可能事件的概率为 0）
4. 若 $A, B$ 互斥，则 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
5. $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$（对立事件概率之和为 1）

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10.2 古典概型

定义

满足以下两个条件的概率模型叫古典概型：

1. 有限性：样本点（基本事件）个数有限
2. 等可能性：每个样本点出现的可能性相等

概率公式

$$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{\text{事件 } A \text{ 包含的样本点个数}}{\text{样本点总数}}$$

核心：准确计数——分子和分母都不能多算或少算。

计数工具

• 穷举法（样本点不多时直接用）
• 树状图
• 列表法（如掷两骰子用 $6 \times 6$ 表格）
• 排列组合（选修内容，这里不展开）

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10.3 事件的相互独立性

定义

若 $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$，则事件 $A$ 与 $B$ 相互独立。

直观理解：$A$ 的发生与否不影响 $B$ 发生的概率。

⚠️ 互斥 vs 独立——极易混淆

	互斥	独立
含义	不能同时发生	互不影响
公式	$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$	$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$
能否同时成立	若 $P(A)P(B) > 0$，则互斥必不独立	因为 $P(AB)=0 \neq P(A)P(B)$

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10.4 频率与概率

频率是实验统计出来的，概率是理论计算出来的。

大数定律的思想：当试验次数充分大时，频率稳定在概率附近。但这不等于频率等于概率——频率仍然有波动。

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📝 经典例题

例 1：古典概型

掷两枚骰子，求点数之和为 7 的概率。

解：样本空间共 $6 \times 6 = 36$ 种结果。和为 7 的组合：$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$，共 6 种。概率 $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。

例 2：独立事件

甲、乙两人各投篮一次，甲命中率 $0.8$，乙命中率 $0.7$，两人互不影响。求恰有一人命中的概率。

解：两人独立。

$P(\text{甲中乙不中}) = 0.8 \times (1-0.7) = 0.8 \times 0.3 = 0.24$

$P(\text{甲不中乙中}) = (1-0.8) \times 0.7 = 0.2 \times 0.7 = 0.14$

恰有一人命中的概率 $= 0.24 + 0.14 = 0.38$。

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🔑 本章小结

知识点	核心	易错
事件关系	互斥 $\cap$、对立	互斥 ≠ 对立！对立必然互斥，互斥不一定对立
古典概型	$P = \frac{m}{n}$	确认"等可能性"是否成立
独立事件	$P(AB) = P(A)P(B)$	互斥和独立不要搞混
对立概率	$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$	求"至少一个"时很实用

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🎉 至此，人教版高中数学必修第一册 + 必修第二册全部十章总结完成！
从集合到概率，从平面到空间，从确定到随机——这就是高一数学的全貌。