第九章：统计

人教版（2019 新课标）高中数学必修第二册
统计是"用数据说话"的学问。和其他章节不同，统计不追求"精确解"，而是追求"合理推断"。

9.1 随机抽样

从总体中逐个不放回地抽取，每个个体被抽到的概率相等。

方法：抽签法、随机数法（用随机数表或计算器生成随机数）。

适用：总体不大、个体差异不明显的场景。

将总体按某种特征分成若干层，然后按比例从各层中独立抽取。

公式：每层抽取数 = 总样本数 × $\frac{\text{该层个体数}}{\text{总体个体数}}$

适用：总体由差异明显的几部分组成时（如不同年级的学生）。

极差：最大值 - 最小值。

方差：$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$

标准差：$s = \sqrt{s^2}$（方差的平方根，单位与原始数据一致）

方差越大，数据越分散；方差越小，数据越集中。

将数据分组，以组距为底、频率/组距为高画矩形。

关键数据：众数取最高矩形的中点；中位数取面积平分线对应的 $x$ 值；平均数取每组中点值 × 频率之和。

第 $p$ 百分位数是将数据从小到大排列后，至少有 $p\%$ 的数据小于或等于该值的数。计算步骤：排序 → 计算 $i = np\%$ → 若 $i$ 是整数则取中间值，否则向上取整。

数据：$2, 3, 5, 5, 7, 8, 9$。求平均数、中位数、众数、方差。