第七章：复数

人教版（2019 新课标）高中数学必修第二册
复数一开始让人摸不着头脑——"根号下负数是什么鬼？" 但当你用复平面的几何视角去看，它其实优雅而简洁。

7.1 复数的概念

虚数单位 $i$

定义 $i^2 = -1$，$i$ 叫做虚数单位。

幂的周期性：$i^1 = i$，$i^2 = -1$，$i^3 = -i$，$i^4 = 1$，然后循环。利用这个周期性可以快速化简 $i^n$：取 $n$ 除以 4 的余数即可。

复数的表示

形如 $z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）的数叫做复数。

$a$ 叫实部，记作 $\text{Re}(z)$
$b$ 叫虚部，记作 $\text{Im}(z)$

复数的分类

条件	类型
$b = 0$	实数
$b \neq 0$	虚数
$a = 0$ 且 $b \neq 0$	纯虚数

复数相等

$a + bi = c + di \iff a = c$ 且 $b = d$（实部和虚部分别相等）。

特别：$a + bi = 0 \iff a = 0$ 且 $b = 0$。

7.2 复数的四则运算

加减法

$$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$$

实部与实部相加减，虚部与虚部相加减——和多项式完全一样。

乘法

$$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

关键就是把 $i^2$ 换成 $-1$。

共轭复数

复数 $z = a + bi$ 的共轭复数记作 $\overline{z} = a - bi$。

重要性质：$z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2$（总是实数，总是非负）。

除法

$$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$$

口诀：分子分母同乘分母的共轭复数。

7.3 复数的几何意义

复平面

建立直角坐标系，横轴为实轴（$x$ 轴），纵轴为虚轴（$y$ 轴），则 $z = a + bi$ 对应点 $(a, b)$。这个平面叫做复平面。

复数的模

复数 $z = a + bi$ 对应的点 $(a, b)$ 到原点的距离叫复数的模：

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

性质：
- $|z| = |\overline{z}|$
- $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
- $z \cdot \overline{z} = |z|^2$（求模的有力工具）

复数加减法的几何意义

复数加法对应向量的平行四边形法则，减法对应向量的三角形法则。

直观理解：复数的加减就是复平面上点的平移。

7.4 实系数一元二次方程在复数范围内的解

当 $\Delta < 0$ 时，方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 在实数范围内无解，但在复数范围内有两个共轭虚根：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{-\Delta} \cdot i}{2a}$$

例：$x^2 + x + 1 = 0$

$\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$，在实数范围内无解。

在复数范围内：$x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$。且韦达定理依然成立：$x_1 + x_2 = -1$，$x_1x_2 = 1$。

📝 经典例题

例 1：复数除法

计算 $\frac{3 + 2i}{1 - i}$

解：$\frac{3+2i}{1-i} = \frac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{3+3i+2i+2i^2}{1-i^2}$
$= \frac{3+5i-2}{1+1} = \frac{1+5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$

例 2：$i^n$ 周期性

计算 $i^{2026}$

解：$2026 \div 4 = 506 \text{ 余 } 2$。$i^2 = -1$，所以 $i^{2026} = -1$。

🔑 本章小结

知识点	核心	易错
虚数单位	$i^2 = -1$	$i^n$ 周期为 4
复数相等	实部 = 实部，虚部 = 虚部	不要漏掉虚部条件
四则运算	乘法注意 $i^2 = -1$	除法乘共轭
共轭复数	$\overline{z} = a - bi$	$z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2$
复平面	实轴 + 虚轴	模 $\|z\| = \sqrt{a^2+b^2}$
虚根	$\Delta < 0$ 时的共轭虚根	韦达定理仍然成立