第八章：立体几何初步

人教版（2019 新课标）高中数学必修第二册
从平面到空间，最大的挑战不是公式，而是空间想象力。多画图、多比划，把抽象关系变成你脑子里能"看到"的画面。

8.1 基本立体图形

多面体

由若干个平面多边形围成的几何体。

类型	特征	例子
棱柱	两个底面全等且平行，侧面是平行四边形	三棱柱、四棱柱（长方体）、六棱柱
棱锥	一个底面是多边形，侧面是三角形，共顶点	三棱锥（四面体）、四棱锥
棱台	棱锥被平行于底面的平面截去顶部剩下的部分	正四棱台

旋转体

由平面图形绕轴旋转形成的几何体。

类型	形成方式
圆柱	矩形绕一边旋转
圆锥	直角三角形绕直角边旋转
圆台	直角梯形绕直角腰旋转
球	半圆绕直径旋转

8.2 直观图——斜二测画法

斜二测画法是把三维图形画在二维平面上的标准方法：

$x$ 轴不变，$y$ 轴与 $x$ 轴成 45°（或 135°）
平行于 $x$ 轴、$z$ 轴的长度不变
平行于 $y$ 轴的长度取一半

8.3 表面积与体积公式

图形	侧面积	全面积	体积
柱体	$S_{\text{侧}} = Ch$	$S_{\text{侧}} + 2S_{\text{底}}$	$V = Sh$
锥体	$S_{\text{侧}} = \frac{1}{2}Cl$	$S_{\text{侧}} + S_{\text{底}}$	$V = \frac{1}{3}Sh$
台体	$S_{\text{侧}} = \frac{1}{2}(C_1+C_2)l$	$S_{\text{侧}} + S_{\text{上底}} + S_{\text{下底}}$	$V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$
球	—	$S = 4\pi R^2$	$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

其中 $C$ 为底面周长，$h$ 为高，$l$ 为斜高，$S_{\text{底}}$ 为底面积。

记忆技巧：
- 锥体体积是柱体的 $\frac{1}{3}$（拿一个三棱柱切成三个等体积的三棱锥试试？）
- 球的表面积是 $4\pi R^2$（恰好是球大圆面积的 4 倍）

8.4 空间中的位置关系

三个基本事实（公理）

不共线的三点确定一个平面
若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线在此平面内
若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线

三种语言转化

做题时需要在三种语言之间自由切换：

图形语言：画出来的图
文字语言："直线 $l$ 平行于平面 $\alpha$"
符号语言：$l \parallel \alpha$

8.5 空间直线、平面的平行

线面平行

判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

$$a \not\subset \alpha,\ b \subset \alpha,\ a \parallel b \implies a \parallel \alpha$$

性质定理：若一条直线平行于一个平面，则过这条直线的平面与已知平面的交线平行于该直线。

面面平行

判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。

$$a \subset \alpha,\ b \subset \alpha,\ a \cap b = P,\ a \parallel \beta,\ b \parallel \beta \implies \alpha \parallel \beta$$

8.6 空间直线、平面的垂直

线面垂直

判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

$$m \subset \alpha,\ n \subset \alpha,\ m \cap n = P,\ l \perp m,\ l \perp n \implies l \perp \alpha$$

面面垂直

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

$$l \subset \alpha,\ l \perp \beta \implies \alpha \perp \beta$$

三垂线定理

平面内的一条斜线在平面内的射影垂直于平面内的一条直线，则斜线也垂直于这条直线。

8.7 空间角的计算

异面直线所成的角

将两条异面直线平移到相交，所成的锐角或直角。范围：$(0°, 90°]$。

常用方法：平移到一个三角形中，用余弦定理求角。

线面角

斜线与它在平面内的射影所成的锐角。范围：$[0°, 90°]$。

$$\sin\theta = \frac{h}{l}\quad \text{（} h \text{ 是点到平面的距离，} l \text{ 是斜线段长）}$$

二面角

从一条棱出发的两个半平面所组成的图形。二面角的平面角：在棱上取一点，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。范围：$[0°, 180°]$。

📝 经典例题

例：线面平行证明

在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，证明 $A_1C_1 \parallel$ 平面 $AB_1D_1$。

证：在正方体中，$A_1C_1 \parallel AC$。而 $AC$ 在底面内，$AC \parallel B_1D_1$（底面是正方形，对角线平行）。

因此在中截面 $AB_1D_1$ 中，$A_1C_1$ 与平面 $AB_1D_1$ 内的一条直线 $B_1D_1$ 平行，由线面平行判定定理知 $A_1C_1 \parallel$ 平面 $AB_1D_1$。✅

🔑 本章小结

知识点	核心	易错
柱锥台球	表面积和体积公式	锥体体积别忘了 $\frac{1}{3}$！
三个公理	确定平面的条件	公理之间的逻辑关系
线面平行	面外一线平行于面内一线	必须是"相交直线"
面面垂直	一面过另一面的垂线	垂直是"空间垂直"不是看上去直
空间角	平移→三角形→余弦定理	异面直线角范围是$(0°,90°]$