第六章：平面向量及其应用

人教版（2019 新课标）高中数学必修第二册
向量是一种全新的数学语言——既有大小又有方向。它把几何问题转化为代数计算，是连接代数和几何的桥梁。

6.1 平面向量的概念

什么是向量

向量：既有大小又有方向的量。用有向线段表示，记作 $\vec{AB}$ 或粗体 $\mathbf{a}$。

数量（标量）：只有大小没有方向的量，如温度、面积、长度。

向量的模

向量的大小称为向量的模（长度），记作 $|\vec{AB}|$ 或 $|\mathbf{a}|$。

几个特殊向量

向量	定义	记法
零向量	模为 0，方向任意	$\vec{0}$
单位向量	模为 1	与 $\mathbf{a}$ 同方向的单位向量为 $\frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}$
相等向量	方向相同、模相等	$\mathbf{a} = \mathbf{b}$
相反向量	方向相反、模相等	$\mathbf{a} = -\mathbf{b}$
平行向量（共线向量）	方向相同或相反	$\mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$

注意：零向量与任何向量平行。相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量（方向可以相反）。

6.2 平面向量的运算

向量的加法

三角形法则：把第二个向量的起点放在第一个向量的终点，从起点到终点的有向线段就是和向量。

平行四边形法则：两个向量从同一起点出发作平行四边形，对角线就是和向量。

坐标运算：若 $\mathbf{a} = (x_1, y_1)$，$\mathbf{b} = (x_2, y_2)$，则 $\mathbf{a} + \mathbf{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。

运算律：交换律 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}$，结合律 $(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})$。

向量的减法

减去一个向量等于加上它的相反向量：$\mathbf{a} - \mathbf{b} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b})$。

坐标：$\mathbf{a} - \mathbf{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。

向量的数乘

$\lambda \mathbf{a}$ 表示将向量 $\mathbf{a}$ 伸缩 $|\lambda|$ 倍：$\lambda > 0$ 时方向不变，$\lambda < 0$ 时方向相反。

坐标：$\lambda \mathbf{a} = (\lambda x, \lambda y)$。

共线定理：$\mathbf{a} \parallel \mathbf{b} \iff \mathbf{b} = \lambda \mathbf{a}$（$\mathbf{a} \neq \vec{0}$）。

坐标形式：$\mathbf{a} = (x_1, y_1)$ 与 $\mathbf{b} = (x_2, y_2)$ 共线 $\iff x_1y_2 - x_2y_1 = 0$。

向量的数量积（点积 / 内积）⭐

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos\theta$$

其中 $\theta$ 是 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角，$\theta \in [0, \pi]$。

坐标运算：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1x_2 + y_1y_2$

数量积的重要性质

性质	含义
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} =	\mathbf{a}\|^2$ \| 向量的模的平方
$\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \iff \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$	垂直的充要条件
$\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{	\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|}$ \| 求夹角公式

坐标垂直条件：$\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \iff x_1x_2 + y_1y_2 = 0$

⚠️ 数量积的运算注意事项

数量积的结果是一个数，不是向量
数量积不满足结合律：$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} \neq \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$（前者是向量，后者无意义）
数量积满足交换律和分配律

6.3 平面向量的坐标表示

基本定理

平面上任意向量 $\mathbf{a}$ 都可以用两个不共线的向量 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$ 唯一地线性表示：

$$\mathbf{a} = \lambda_1 \mathbf{e}_1 + \lambda_2 \mathbf{e}_2$$

$\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$ 称为平面的一组基底。

坐标表示

在直角坐标系中，取 $x$ 轴和 $y$ 轴方向上的单位向量 $\mathbf{i} = (1, 0)$ 和 $\mathbf{j} = (0, 1)$ 作为基底，则：

$$\mathbf{a} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} = (x, y)$$

模长公式：$|\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

两点间距离：$A(x_1, y_1)$ 到 $B(x_2, y_2)$ 的距离 $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

6.4 解三角形——正弦定理与余弦定理

这是向量最重要的应用，也是高考必考内容。

正弦定理

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，外接圆半径为 $R$：

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

适用场景：
- 已知两角一边 → 求其它边
- 已知两边及其中一边的对角 → 求其它角（⚠️ 可能有两解！）

余弦定理

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

变形（求角）：$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

适用场景：
- 已知两边及夹角 → 求第三边
- 已知三边 → 求各角

三角形面积公式

$$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$$

📝 经典例题

例1：向量数量积

$|\mathbf{a}| = 3$，$|\mathbf{b}| = 4$，$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -6$，求 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角。

解：$\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} = \frac{-6}{3 \times 4} = -\frac{1}{2}$

因为 $\theta \in [0, \pi]$，所以 $\theta = \frac{2\pi}{3}$。

例2：解三角形

在 $\triangle ABC$ 中，$a = 2\sqrt{3}$，$b = 2$，$A = 60°$，求 $B$ 和 $c$。

解：由正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$：
$$\frac{2\sqrt{3}}{\sin 60°} = \frac{2}{\sin B} \implies \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sin B} \implies 4 = \frac{2}{\sin B}$$

$\sin B = \frac{1}{2}$，$B = 30°$ 或 $B = 150°$。

但 $A = 60°$，若 $B = 150°$ 则 $A+B > 180°$，舍去。所以 $B = 30°$，$C = 90°$。

由正弦定理 $c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{2\sqrt{3} \cdot 1}{\sqrt{3}/2} = 4$。

🔑 本章小结

知识点	核心	易错
向量概念	大小+方向	零向量方向任意
加减法	三角形法则 / 坐标加减	坐标减法别减反
数乘	伸缩+可能反向	$\lambda<0$ 方向反转
数量积	$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} =	\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta$ \| 结果是数不是向量
垂直判断	$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$	坐标形式：$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$
正弦定理	$\frac{a}{\sin A} = 2R$	两边一对角可能两解
余弦定理	$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$	夹角别代错边