第五章：三角函数

人教版（2019 新课标）高中数学必修第一册
三角函数是高一上学期最后一块硬骨头——从角度制跳到弧度制，从静态三角形跳到动态单位圆，思维方式的转变比公式本身更难。

5.1 任意角与弧度制

角的概念的推广

正角：逆时针旋转形成的角
负角：顺时针旋转形成的角
零角：没有旋转（射线保持在初始位置）

象限角

把角的顶点放在原点，始边与 $x$ 轴正半轴重合。终边落在第几象限便叫第几象限角。

第一象限：$0 + 2k\pi < \alpha < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
第二象限：$\frac{\pi}{2} + 2k\pi < \alpha < \pi + 2k\pi$
第三象限：$\pi + 2k\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$
第四象限：$\frac{3\pi}{2} + 2k\pi < \alpha < 2\pi + 2k\pi$

终边在坐标轴上的角不属于任何象限（如 $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$）。

弧度制

角度制与弧度制的互化是整个三角函数的基石：

$$180° = \pi \text{ rad}$$

换算：$1° = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \approx 0.01745 \text{ rad}$

$$1 \text{ rad} = \left(\frac{180}{\pi}\right)° \approx 57.3°$$

必背的特殊角换算：

角度	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
弧度	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$

弧长公式与扇形面积公式

在弧度制下（$\alpha$ 单位为弧度）：

弧长：$l = |\alpha| \cdot r$
扇形面积：$S = \frac{1}{2} l r = \frac{1}{2} |\alpha| r^2$

5.2 三角函数的概念

单位圆定义

在平面直角坐标系中，以原点为圆心、半径为 1 的圆称为单位圆。

设角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P(x, y)$，则：

$$\sin\alpha = y,\quad \cos\alpha = x,\quad \tan\alpha = \frac{y}{x}\ (x \neq 0)$$

各象限三角函数的符号

象限	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$
第一象限	+	+	+
第二象限	+	-	-
第三象限	-	-	+
第四象限	-	+	-

记忆口诀："一全正，二正弦，三正切，四余弦"——第一象限全正，第二象限只有正弦正，第三象限只有正切正，第四象限只有余弦正。

特殊角的三角函数值（必背）

$\alpha$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$
$\sin\alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$-1$
$\cos\alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$
$\tan\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	不存在	$0$	不存在

5.3 同角三角函数的基本关系

两个基本关系式

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

$$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

这两个公式是三角恒等变换的"万能地基"。

注意：第一个公式是 $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$，不要写成 $1 + \cos^2\alpha$！

应用：知一求二

已知一个三角函数值 + 角所在象限，可以求出另外两个。

已知 $\sin\alpha = \frac{3}{5}$，$\alpha$ 在第二象限，求 $\cos\alpha$ 和 $\tan\alpha$。

解：$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$。

$\alpha$ 在第二象限，$\cos\alpha < 0$，所以 $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$。

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$。

5.4 诱导公式

核心口诀：奇变偶不变，符号看象限

这是高中数学最重要的记忆口诀之一。

奇变偶不变：$\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$（$k \in \mathbb{Z}$）中，若 $k$ 为奇数，函数名改变（$\sin \leftrightarrow \cos$，$\tan \leftrightarrow \cot$）；若 $k$ 为偶数，函数名不变。
符号看象限：把 $\alpha$ 看作锐角，看原来的角落在哪个象限，取那个象限下原函数的符号。

常用诱导公式速查

公式	结果
$\sin(\pi + \alpha)$	$-\sin\alpha$
$\cos(\pi + \alpha)$	$-\cos\alpha$
$\tan(\pi + \alpha)$	$\tan\alpha$
$\sin(-\alpha)$	$-\sin\alpha$
$\cos(-\alpha)$	$\cos\alpha$
$\sin(\pi - \alpha)$	$\sin\alpha$
$\cos(\pi - \alpha)$	$-\cos\alpha$
$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$	$\cos\alpha$
$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$	$\sin\alpha$
$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)$	$\cos\alpha$
$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$	$-\sin\alpha$

5.5 三角函数的图像与性质

正弦函数 $y = \sin x$

性质	值
定义域	$\mathbb{R}$
值域	$[-1, 1]$
周期	$2\pi$（最小正周期）
奇偶性	奇函数（图像关于原点对称）
单调增区间	$[-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi]$
单调减区间	$[\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi]$
最大值点	$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$，$y_{\max} = 1$
最小值点	$x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$，$y_{\min} = -1$
对称轴	$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
对称中心	$(k\pi, 0)$

余弦函数 $y = \cos x$

性质	值
定义域	$\mathbb{R}$
值域	$[-1, 1]$
周期	$2\pi$
奇偶性	偶函数（图像关于 $y$ 轴对称）
单调增区间	$[-\pi+2k\pi, 2k\pi]$
单调减区间	$[2k\pi, \pi+2k\pi]$
对称轴	$x = k\pi$
对称中心	$(\frac{\pi}{2}+k\pi, 0)$

正切函数 $y = \tan x$

性质	值
定义域	${x \mid x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}}$
值域	$\mathbb{R}$
周期	$\pi$
奇偶性	奇函数
单调性	在 $(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi)$ 上均单调递增
对称中心	$(\frac{k\pi}{2}, 0)$

5.6 三角恒等变换

两角和与差公式

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$$

$$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$$

注意：余弦公式中 $\cos(\alpha+\beta)$ 的中间是减号，$\cos(\alpha-\beta)$ 的中间是加号，和正弦刚好相反！

二倍角公式

$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$

$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$$

$$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$$

降幂公式（由二倍角变形）

$$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$$

$$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$

这两个在积分中极其重要，也是化简三角式的常用工具。

5.7 函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$

参数含义

参数	名称	公式	说明
$A$	振幅	—	图像的纵向拉伸，值域 $[-A, A]$
$\omega$	角频率	$T = \frac{2\pi}{	\omega\|}$ \| 图像的横向压缩/拉伸
$T$	周期	$T = \frac{2\pi}{	\omega\|}$ \| 完成一个完整波形所需的 $x$ 长度
$f$	频率	$f = \frac{1}{T}$	单位长度内的周期数
$\varphi$	初相	—	$\omega x + \varphi$ 当 $x=0$ 时的值

完整形式

函数还可以带竖直平移：

$$y = A\sin(\omega x + \varphi) + B$$

参数	作用	效果
$A$	纵向拉伸	值域变为 $[-A+B,\, A+B]$
$\omega$	横向压缩	周期变为 $T = \frac{2\pi}{\|\omega\|}$
$\varphi$	水平平移	配合 $\omega$ 一起看（见下文）
$B$	竖直平移	整体上移（$B>0$）或下移（$B<0$）

竖直平移——最简单，没有坑

$$y = \sin x + 2 \quad \text{（上移 2 个单位）}$$
$$y = A\sin(\omega x + \varphi) + B \quad \text{（上移 } B \text{ 个单位）}$$

竖直平移无论先移后移、先伸缩后伸缩，都是直接 ±B，完全不需要考虑顺序！

水平平移——核心大坑 🔥

水平平移的平移量到底是 $\varphi$ 还是 $\frac{\varphi}{\omega}$？取决于你变换的顺序！

通用技巧：先把 $\omega$ 提出来！

$$y = A\sin(\omega x + \varphi) = A\sin\left[\omega\left(x + \frac{\varphi}{\omega}\right)\right]$$

这样一眼看出：水平平移量 = $\frac{\varphi}{\omega}$（正左负右），跟先平移还是先伸缩没关系！

两种变换路径对比

从 $y = \sin x$ 出发，到 $y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$：

步骤	路径一：先平移后伸缩	路径二：先伸缩后平移
第1步	$\sin x \to \sin(x+\frac{\pi}{3})$（左移 $\frac{\pi}{3}$）	$\sin x \to \sin(2x)$（横坐标压缩到 $\frac{1}{2}$）
第2步	$\to \sin(2x+\frac{\pi}{3})$（横坐标压到 $\frac{1}{2}$）	$\to \sin(2x+\frac{\pi}{3}) = \sin[2(x+\frac{\pi}{6})]$（左移 $\frac{\pi}{6}$）

⚠️ 两种路径结果一样，但平移量不同：
- 先平移后伸缩 → 平移量 = $\varphi$
- 先伸缩后平移 → 平移量 = $\frac{\varphi}{\omega}$

考试建议：统一用「先平移后伸缩」路径，平移量直接用 $\varphi$，不易出错。

完整参数拆解

拿到 $y = A\sin(\omega x + \varphi) + B$：

先提 $\omega$：$y = A\sin[\omega(x + \frac{\varphi}{\omega})] + B$
看 $B$：整个图像沿 $y$ 轴平移 $B$（最简单）
看 $A$：$\sin$ 的值域 $[-1,1]$ 被拉伸到 $[-A, A]$，再加 $B$ → $[-A+B, A+B]$
看 $\omega$：周期变为 $\frac{2\pi}{|\omega|}$
看 $\frac{\varphi}{\omega}$：水平平移量，正左负右

四个参数各管各的，互不干扰，顺序任意 ✨

📝 经典例题

例 1：诱导公式化简

化简 $\sin(180° + \alpha) \cdot \cos(90° + \alpha) + \sin(90° - \alpha) \cdot \cos(180° - \alpha)$

解：逐项化简——
- $\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha$
- $\cos(90° + \alpha) = -\sin\alpha$
- $\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha$
- $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$

原式 $= (-\sin\alpha)(-\sin\alpha) + (\cos\alpha)(-\cos\alpha) = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -\cos 2\alpha$

例 2：恒等变换求值

已知 $\sin\alpha = \frac{4}{5}$，$\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$，求 $\sin 2\alpha$ 和 $\cos 2\alpha$。

解：第二象限，$\cos\alpha < 0$。$\cos\alpha = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\frac{3}{5}$。

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{24}{25}$

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$

🔑 本章小结

知识点	核心	易错
弧度制	$180° = \pi$ rad	忘记单位转换
单位圆定义	$\sin\alpha = y, \cos\alpha = x$	象限符号搞反
诱导公式	"奇变偶不变，符号看象限"	忘记看象限符号
图像性质	周期、单调性、对称轴、对称中心	$\sin$ 和 $\cos$ 的单调区间搞混
恒等变换	和差公式 → 二倍角 → 降幂	余弦和差公式中间符号别搞反
$y=A\sin(\omega x+\varphi)$	$A$ 振幅、$T=\frac{2\pi}{\omega}$、$\varphi$ 初相	伸缩后的平移量是 $\frac{\varphi}{\omega}$